Знакочередующийся ряд

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Знакочередующийся ряд — математический ряд, члены которого попеременно принимают значения противоположных знаков, то есть:

.

Признак Лейбница

[править | править код]

Формулировка

[править | править код]

Признак Лейбница — признак сходимости знакочередующегося ряда, установлен Готфридом Лейбницем. Формулировка теоремы:

Пусть дан знакочередующийся ряд

,

для которого выполняются следующие условия:

  1. , начиная с некоторого номера (),

Тогда такой ряд сходится.

Монотонное убывание не является необходимым для сходимости знакочередующегося ряда (в то время как необходимое условие сходимости для любого ряда), таким образом и сам признак является только достаточным, но не необходимым (например, ряд сходится). С другой стороны, монотонное убывание существенно для применения признака Лейбница; если оно отсутствует, то ряд может расходиться даже несмотря на то, что второе условие признака Лейбница выполнено. Пример расходящегося знакочередующегося ряда с немонотонным убыванием членов[1]:

Удвоенные частичные суммы этого ряда совпадают с частичными суммами гармонического ряда и поэтому неограниченно растут.

Доказательство

[править | править код]

. Ряд из модулей имеет вид  — это гармонический ряд, который расходится.

Теперь воспользуемся признаком Лейбница:

  1. знакочередование выполнено
  2. .

Следовательно, так как все условия выполнены, ряд сходится (причем условно, так как ряд из модулей расходится).

Оценка остатка ряда Лейбница

[править | править код]

Из теоремы Лейбница вытекает следствие, позволяющее оценить погрешность вычисления неполной суммы ряда (остаток ряда):

Остаток сходящегося знакочередующегося ряда будет по модулю меньше первого отброшенного слагаемого:

Знакопеременный ряд

[править | править код]

Знакочередующиеся ряды также иногда называют знакопеременными[3], однако этот термин может также означать любые ряды, имеющие одновременно бесконечное число положительных и отрицательных членов.

Литература

[править | править код]
  • Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 296.
  • Воробьёв Н. Н. Теория рядов. — 4-е изд. — М.: Наука, 1979. — 408 с. — (Избранные главы высшей математики для инженеров и студентов втузов).
  • Иванов Г. Е. Глава 9. Числовые ряды. §3. Ряды со знакопеременными членами // Лекции по математическому анализу. — М.: МФТИ, 2000. — Т. 1. — С. 299—303. — 359 с. — 800 экз. — ISBN 5-7417-0147-7.

Примечания

[править | править код]
  1. Воробьёв, 1979, с. 84—85.
  2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учеб. для вузов. — 10-е изд., испр. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.
  3. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления т. 2 стр. 302