Спорадическая группа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Спорадическая группа — одна из 26 исключительных групп в теореме о классификации простых конечных групп.

Простая группа — это группа G, не содержащая каких-либо нормальных подгрупп, отличных от самой группы G и тривиальной (единичной) подгруппы. Теорема классификации утверждает, что список конечных простых групп[англ.] состоит из 18 счётных бесконечных семейств, плюс 26 исключений, которые не попадают в эту классификацию. Эти исключения называются спорадическими группами. Они также известны под названиями «спорадические простые группы» или «спорадические конечные группы». Поскольку группа Титса не является строго группой лиева типа, иногда она также считается спорадической[1] и в этом случае является 27-й спорадической группой.

Группа Монстр является наибольшей среди спорадических групп и содержит в качестве подгрупп или подфакторгрупп[англ.] все, за исключением шести, другие спорадические группы.

Имена спорадических групп

[править | править код]

Пять спорадических групп обнаружил Матьё в 1860-х годах, остальные 21 найдены между 1965 и 1975 годами. Существование нескольких из этих групп было предсказано до их построения. Позднее было доказано, что этим окончательно завершён полный поиск. Большинство групп носят имена математиков, первыми предсказавшими их существование.

Полный список групп:

Диаграмма показывает подфакторные связи спорадических групп.

Группа Титса T иногда также считается спорадической группой (она почти лиева типа) и по этой причине по некоторым источникам число спорадических групп даётся как 27, а не 26. По другим источникам группа Титса не считается ни спорадической, ни группой лиева типа.

Для всех спорадических групп были построены матричные представления над конечными полями.

Наиболее раннее употребление термина «спорадическая группа» найдено у Бёрнсайда[2], где он говорит о группах Матьё: «Эти, по всей видимости, спорадические простые группы требуют более тщательного исследования, чем до сих пор получали».

Диаграмма справа основывается на диаграмме Ронана[3]. Спорадические группы также имеют большое число подгрупп, не являющихся спорадическими, но на диаграмме они не представлены ввиду их огромного числа.

Из 26 спорадических групп 20 находятся внутри группы «Монстр» в качестве подгрупп или подфакторгрупп[англ.].

Шесть исключений J1, J3, J4, O’N, Ru и Ly иногда называют париями[англ.].

II. Счастливое Семейство

[править | править код]

Остальные двадцать групп называют Счастливым семейством (название дал Роберт Грис[англ.]) и их можно разбить на три поколения.

Первое поколение (5 групп) — группы Матьё

[править | править код]

Группы Mn для n = 11, 12, 22, 23 и 24 являются кратно-транзитивными группами перестановок n точек. Все они являются подгруппами группы M24, которая является группой перестановок 24 точек.

Второе поколение (7 групп) — решётка Лича

[править | править код]

Все подфакторы[англ.] группы автоморфизмов решётки в 24-мерном пространстве, называемой решёткой Лича:

  • Co1 — факторгруппа группы автоморфизмов по центру {±1}
  • Co2 — стабилизатор вектора типа 2 (то есть длины 2)
  • Co3 — стабилизатор вектора типа 3 (то есть длины √6)
  • Suz — группа автоморфизмов, сохраняющих структуру (модуль центра)
  • McL — стабилизатор треугольника типа 2-2-3
  • HS — стабилизатор треугольника типа 2-3-3
  • J2 — группа автоморфизмов, сохраняющих кватернионную структуру (модуль по центру).

Третье поколение (8 групп) — другие подгруппы Монстра

[править | править код]

Состоит из подгрупп, которые тесно связаны с Монстром M:

  • B или F2 имеет двойное покрытие, являющееся централизатором элемента порядка 2 в M
  • Fi24′ имеет тройное покрытие, являющееся централизатором элемента порядка 3 в M (класс сопряжённости «3A»)
  • Fi23 является подгруппой Fi24
  • Fi22 имеет двойное покрытие, которое является подгруппой Fi23
  • Произведение Th = F3 и группы порядка 3 является централизатором элемента порядка 3 в M (класс сопряжённости «3C»)
  • Произведение HN = F5 и группы порядка 5 является централизатором элемента порядка 5 в M
  • Произведение He = F7 и группы порядка 7 является централизатором элемента порядка 7 в M.
  • Наконец, Монстр сам по себе считается принадлежащим этому поколению.

(Эта серия продолжается и дальше — произведение M12 и группы порядка 11 является централизатором элемента порядка 11 в M.)

Группа Титса также принадлежит этому поколению — существует подгруппа , нормализующая 2C2 подгруппу B, порождающая подгруппу , нормализующую некоторую подгруппу Q8 Монстра. является также подгруппой групп Фишера Fi22, Fi23 и Fi24′ и «малого Монстра» B. является подгруппой группы-парии Рудвалиса Ru и не имеет других зависимостей со спорадическими простыми группами кроме перечисленных выше.

Таблица порядков спорадических групп

[править | править код]
Группа Поколение Порядок (последовательность A001228 в OEIS) Значащих
цифр
Разложение Тройка
Стандартных генераторов (a, b, ab)[4][5][6]
Другие условия
F1 или M третье 8080174247945128758864599049617107
57005754368000000000
≈ 8⋅1053 246 • 320 • 59 • 76 • 112 • 133 • 17 • 19 • 23 • 29 • 31 • 41 • 47 • 59 • 71 2A, 3B, 29
F2 или B[англ.] третье 4154781481226426191177580544000000 ≈ 4⋅1033 2C, 3A, 55
Fi24' или F3+[англ.] третье 1255205709190661721292800 ≈ 1⋅1024 221 • 316 • 52 • 73 • 11 • 13 • 17 • 23 • 29 2A, 3E, 29
Fi23[англ.] третье 4089470473293004800 ≈ 4⋅1018 218 • 313 • 52 • 7 • 11 • 13 • 17 • 23 2B, 3D, 28
Fi22[англ.] третье 64561751654400 ≈ 6⋅1013 217 • 39 • 52 • 7 • 11 • 13 2A, 13, 11
F3 или Th[англ.] третье 90745943887872000 ≈ 9⋅1016 215 • 310 • 53 • 72 • 13 • 19 • 31 2, 3A, 19
Ly[англ.] пария 51765179004000000 ≈ 5⋅1016 28 • 37 • 56 • 7 • 11 • 31 • 37 • 67 2, 5A, 14
F5 или HN[англ.] третье 273030912000000 ≈ 3⋅1014 214 • 36 • 56 • 7 • 11 • 19 2A, 3B, 22
Co1 второе 4157776806543360000 ≈ 4⋅1018 221 • 39 • 54 • 72 • 11 • 13 • 23 2B, 3C, 40
Co2[англ.] второе 42305421312000 ≈ 4⋅1013 218 • 36 • 53 • 7 • 11 • 23 2A, 5A, 28
Co3[англ.] второе 495766656000 ≈ 5⋅1011 210 • 37 • 53 • 7 • 11 • 23 2A, 7C, 17
O'N[англ.] пария 460815505920 ≈ 5⋅1011 29 • 34 • 5 • 73 • 11 • 19 • 31 2A, 4A, 11
Suz[англ.] второе 448345497600 ≈ 4⋅1011 213 • 37 • 52 • 7 • 11 • 13 2B, 3B, 13
Ru пария 145926144000 ≈ 1⋅1011 214 • 33 • 53 • 7 • 13 • 29 2B, 4A, 13
F7 или He[англ.] третье 4030387200 ≈ 4⋅109 210 • 33 • 52 • 73 • 17 2A, 7C, 17
McL[англ.] второе 898128000 ≈ 9⋅108 27 • 36 • 53 • 7 • 11 2A, 5A, 11
HS[англ.] второе 44352000 ≈ 4⋅107 29 • 32 • 53 • 7 • 11 2A, 5A, 11
J4[англ.] пария 86775571046077562880 ≈ 9⋅1019 221 • 33 • 5 • 7 • 113 • 23 • 29 • 31 • 37 • 43 2A, 4A, 37
J3 или HJM[англ.] пария 50232960 ≈ 5⋅107 27 • 35 • 5 • 17 • 19 2A, 3A, 19
J2 или HJ второе 604800 ≈ 6⋅105 27 • 33 • 52 • 7 2B, 3B, 7
J1[англ.] пария 175560 ≈ 2⋅105 23 • 3 • 5 • 7 • 11 • 19 2, 3, 7
M24[англ.] первое 244823040 ≈ 2⋅108 210 • 33 • 5 • 7 • 11 • 23 2B, 3A, 23
M23[англ.] первое 10200960 ≈ 1⋅107 27 • 32 • 5 • 7 • 11 • 23 2, 4, 23
M22[англ.] первое 443520 ≈ 4⋅105 27 • 32 • 5 • 7 • 11 2A, 4A, 11
M12[англ.] первое 95040 ≈ 1⋅105 26 • 33 • 5 • 11 2B, 3B, 11
M11[англ.] первое 7920 ≈ 8⋅103 24 • 32 • 5 • 11 2, 4, 11

Примечания

[править | править код]
  1. Например, согласно Конвею.
  2. Burnside, 1911, с. 504, note N.
  3. Ronan, 2006.
  4. Wilson RA. An Atlas of Sporadic Group Representations (1998). Дата обращения: 7 января 2018. Архивировано 4 января 2018 года.
  5. Nickerson SJ, Wilson RA. Semi-Presentations for the Sporadic Simple Groups (2000).
  6. Wilson RA, Parker RA, Nickerson SJ, Bray JN. Atlas: Sporadic Groups (1999). Дата обращения: 7 января 2018. Архивировано 8 января 2012 года.

Литература

[править | править код]
  • William Burnside. Theory of groups of finite order. — 1911. — С. 504 (note N). — ISBN 0-486-49575-2.
  • Conway J. H. A perfect group of order 8,315,553,613,086,720,000 and the sporadic simple groups // Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A.. — 1968. — Т. 61, вып. 2. — С. 398–400. — doi:10.1073/pnas.61.2.398.
  • Conway J. H., Curtis R. T., Norton S. P., Wilson R. A. Atlas of finite groups. Maximal subgroups and ordinary characters for simple groups. With computational assistance from J. G. Thackray. — Oxford University Press, 1985. — ISBN 0-19-853199-0.
  • Gorenstein D., Lyons R., Solomon R. The Classification of the Finite Simple Groups. — American Mathematical Society, 1994. Выпуски 1, 2, …
  • Robert L. Griess. Twelve Sporadic Groups. — Springer-Verlag, 1998. — ISBN 3540627782.
  • Mark Ronan. Symmetry and the Monster. — Oxford, 2006. — ISBN 978-0-19-280722-9.