Чётные и нечётные числа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Чётность в теории чисел — характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два.

Определения

[править | править код]
  • Нечётное число — целое число, которое не делится на 2 без остатка: …, −3, −1, 1, 3, 5, 7, 9, …

Если m чётно, то оно представимо в виде , а если нечётно, то в виде , где .

С точки зрения теории сравнений, чётные и нечётные числа — это элементы соответственно классов вычетов [0] и [1] по модулю 2.

Арифметика

[править | править код]
  • Деление:
    • Чётное / Чётное: однозначно судить о чётности результата невозможно (если результат — целое число, то оно может быть как чётным, так и нечётным)
    • Чётное / Нечётное: если результат — целое число, то оно Чётное
    • Нечётное / Чётное: результат не может быть целым числом, и соответственно обладать атрибутами чётности не может
    • Нечётное / Нечётное: если результат — целое число, то оно Нечётное

Признак чётности

[править | править код]

В десятичной системе счисления

[править | править код]

Если в десятичной форме записи числа последняя цифра является чётной (0, 2, 4, 6 или 8), то всё число также является чётным, в противном случае — нечётным.

42, 104, 11110, 9115817342 — чётные числа.
31, 75, 703, 78527, 2356895125 — нечётные числа.

В других системах счисления

[править | править код]

Для всех систем счисления с чётным основанием (например, для шестнадцатеричной), действует тот же признак чётности: число делится на 2, если его последняя цифра делится на 2. Для систем счисления с нечётным основанием существует другой признак чётности: число чётно тогда и только тогда, когда чётна сумма его цифр. Например, число, обозначаемое записью «136», чётно в любой системе счисления, начиная с семеричной[3].

История и культура

[править | править код]

Понятие чётности чисел известно с глубокой древности и ему часто придавалось мистическое значение. В китайской космологии и натурософии чётные числа соответствуют понятию «инь», а нечётные — «ян»[4].

В разных странах существуют связанные с количеством даримых цветов традиции. Например в США, Европе и некоторых восточных странах считается, что чётное количество даримых цветов приносит счастье. В России и странах СНГ чётное количество цветов принято приносить лишь на похороны умершим. Однако, в случаях, когда в букете много цветов (обычно больше 11), чётность или нечётность их количества уже не играет никакой роли. Например, вполне допустимо подарить даме букет из 12, 14, 16 и т. д. цветов или срезов кустового цветка, имеющих множество бутонов, у которых они, в принципе, не подсчитываются. Тем более это относится к бо́льшему количеству цветов (срезов), даримых в других случаях.

  • Согласно Правилам дорожного движения в зависимости от чётности или нечётности числа месяца может быть разрешена стоянка под знаками 3.29, 3.30.
  • В высших учебных заведениях со сложными графиками учебного процесса применяются чётные и нечётные недели (могут называться также первыми и вторыми, верхними и нижними). Внутри этих недель отличается расписание учебных занятий и в некоторых случаях время их начала и окончания. Такая практика применяется для равномерности распределения нагрузки на студентов, преподавателей, по аудиториям, учебным корпусам. Дисциплины небольшого объёма ставятся в расписание 1 раз в 2 недели, в результате чего преподавателей и студентов не возникает чрезмерной нагрузки в начале семестра и резкого падения ее - в конце: количество учебных часов в неделю остается примерно одинаковым на протяжении всего семестра.
  • Четность/нечётность чисел широко применяется на железнодорожном транспорте:
    • При движении поезда ему присваивается маршрутный номер, который может быть чётным или нечётным в зависимости от направления движения (прямое или обратное). Например, поезд «Россия» при следовании из Владивостока в Москву имеет номер 001, а из Москвы во Владивосток — 002;
    • Чётностью/нечётностью на сленге железнодорожников обозначается направление, в котором проходит поезд через станцию (пример объявления «По третьему пути пройдёт нечётный поезд»);
    • Места в плацкартных и купейных вагонах всегда распределяются: чётные — верхние, нечётные — нижние.
    • С чётными и нечётными числами месяца долгое время были увязаны графики движения пассажирских поездов, следующих через один день. При совпадении двух подряд нечётных чисел (с 29 или 31 на 1 число) поезда могли назначаться не через день, а через два дня (если он отправляется по чётным) или на следующий день. Но такая практика была неудобна для железнодорожников, и с распространением интернета и продаж билетов онлайн от поддержания таких графиков постепенно отказались: пассажиры знают, что поезда отправляются через день, а конкретную дату всегда можно уточнить в интернете. После каждого месяца с нечётным количеством дней графики движения смещаются с чётных чисел на нечётные и наоборот[5].

Примечания

[править | править код]
  1. Медников, 2013, с. 8-9.
  2. Медников, 2013, с. 8.
  3. Перельман, 1954.
  4. Рифтин Б. Л. Инь и Ян. Мифы народов мира. Архивная копия от 18 сентября 2010 на Wayback Machine Том 1, М.: Сов.энциклопедия, 1991, с. 547.
  5. Маршрут поезда 609Н Томск — Новокузнецк. Яндекс Расписания. Дата обращения: 28 декабря 2022. Архивировано 28 декабря 2022 года.

Литература

[править | править код]
  • Медников Л. Э. Чётность. — 4-е изд. — М.: МЦНМО, 2013. — ISBN 978-5-4439-0078-0.
  • Перельман Я. И. Чёт или нечет? // Занимательная арифметика: загадки и диковинки в мире чисел. — Издание восьмое, сокращённое. — М.: Детгиз, 1954. — С. 66—68.
  • Последовательность A005408 в OEIS: нечётные числа
  • Последовательность A005843 в OEIS: чётные числа
  • Последовательность A179082 в OEIS: чётные числа с чётной суммой цифр в десятичной записи