Гиперсфера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Стереографическая проекция трёх координатных направлений 3-сферы на трёхмерное пространство: параллелей, меридианов и гипермеридианов.
В исходном пространстве эти линии являются окружностями и образуют прямоугольную сетку на 3-сфере. Стереографическая проекция — конформное отображение, поэтому их образы также являются окружностями или прямыми и ортогональны друг другу.
Проекция трёхмерной проекции аппроксимации гиперсферы четырёхмерного пространства

Гиперсфе́ра (от др.-греч. ὑπερ- «сверх-» + σφαῖρα «шар») — гиперповерхность в -мерном евклидовом пространстве, образованная точками, равноудалёнными от заданной точки, называемой центром сферы.

  • при гиперсфера вырождается в две точки, равноудалённые от центра;
  • при она представляет собой окружность;
  • при гиперсфера является сферой.
  • при гиперсфера является 3-сферой.
  • при гиперсфера является 4-сферой.

  • при гиперсфера является 7-сферой. 7-сфера примечательна тем, что эта размерность первая, в которой существуют экзотические сферы, то есть многообразия, гомеоморфные стандартной 7-сфере, но не диффеоморфные[1].

Расстояние от центра гиперсферы до её поверхности называется радиусом гиперсферы. Гиперсфера является -мерным подмногообразием в -мерном пространстве, все нормали к которому пересекаются в её центре.

Гиперсфера радиуса с центром в точке задаётся как геометрическое место точек, удовлетворяющих условию:

Гиперсферические координаты

[править | править код]

Как известно, полярные координаты описываются следующим образом:

а сферические координаты так:

n-мерный шар можно параметризовать следующим набором гиперсферических координат:

где и .

Якобиан этого преобразования равен

В другом варианте,

где и .

Якобиан в такой форме равен

Площадь и объём

[править | править код]
Площадь поверхности гиперсферы в пространстве размерности x единичного радиуса в зависимости от x.
Объём гипершара размерности x единичного радиуса в зависимости от x.

В -мерном евклидовом пространстве для гиперсферы размерности её площадь поверхности и объём , ограниченный ею (объём n-мерного шара), можно рассчитать по формулам[2][3]:

где

а  — гамма-функция. Этому выражению можно придать другой вид:

Здесь  — двойной факториал.

Так как

то объёмы шаров удовлетворяют рекуррентному соотношению

а площади их поверхностей соотносятся как

Следующая таблица показывает, что единичные сфера и шар принимают экстремальный объём для и , соответственно.

Площади и объёмы гиперсфер и гипершаров при единичном радиусе
Размерность 1 (длина) 2 (площадь) 3 (объём) 4 5 6 7 8
Единичная

сфера ()

Десятичная

запись

6.2832 12.5664 19.7392 26.3189 31.0063 33.0734 32.4697 29.6866
Единичный

шар ()

Десятичная

запись

2.0000 3.1416 4.1888 4.9348 5.2638 5.1677 4.7248 4.0587

В строке «размерность» таблицы содержится размерность поверхности геометрической фигуры, а не размерность пространства, в котором она находится. Для -мерного шара размерность его «объёма» также равна , а размерность его «площади» — .

Отношение объёма -мерного шара к объёму описанного вокруг него -куба быстро уменьшается с ростом , быстрее, чем .

Топология гиперсферы

[править | править код]

В этом разделе под сферой будем понимать n-мерную гиперсферу, под шаром  — n-мерный гипершар, то есть , .

  • Сфера гомеоморфна факторизации шара по его границе.
  • Шар гомеоморфен факторизации .
  • Сфера является клеточным пространством. Простейшее клеточное разбиение состоит из двух клеток, гомеоморфных и . Оно получается напрямую из построения сферы как факторпространства замкнутого шара. Клеточное разбиение также можно построить по индукции, разбивая вдоль экватора на две n-мерные клетки, гомеоморфные , и сферу , являющуюся их общей границей.

Примечания

[править | править код]
  1. A001676 - OEIS. Дата обращения: 1 декабря 2022. Архивировано 1 декабря 2022 года.
  2. Виноградов И. М. Математическая энциклопедия. — М.: Наука, 1977, — т. 5, с. 287, статья «Сфера» — формула объёма n-мерной сферы
  3. Л. А. Максимов, А. В. Михеенков, И. Я. Полищук. Лекции по статистической физике. Долгопрудный, 2011. — с. 35, вывод формулы объёма n-мерной сферы через интеграл Эйлера-Пуассона-Гаусса