Размерность Хаусдорфа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Размерность Хаусдорфа, или хаусдорфова размерность — естественный способ определить размерность подмножества в метрическом пространстве. Размерность Хаусдорфа согласуется с нашими обычными представлениями о размерности в тех случаях, когда эти обычные представления есть. Например, в трёхмерном евклидовом пространстве хаусдорфова размерность конечного множества равна нулю, размерность гладкой кривой — единице, размерность гладкой поверхности — двум и размерность множества ненулевого объёма — трём. Для более сложных (фрактальных) множеств размерность Хаусдорфа может не быть целым числом.

Определение

[править | править код]

Определение размерности Хаусдорфа состоит из нескольких шагов. Пусть  — ограниченное множество в метрическом пространстве .

ε-покрытия

[править | править код]

Пусть . Не более чем счётный набор подмножеств пространства будем называть -покрытием множества , если выполнены следующие два свойства:

  • для любого (здесь и далее означает диаметр множества ).

α-мера Хаусдорфа

[править | править код]

Пусть . Пусть  — покрытие множества . Определим следующую функцию, в некотором смысле показывающую «размер» этого покрытия: .

Обозначим через «минимальный размер» -покрытия множества : , где инфимум берётся по всем -покрытиям множества .

Очевидно, что функция (нестрого) возрастает при уменьшении , поскольку при уменьшении мы только сжимаем множество возможных -покрытий. Следовательно, у неё есть конечный или бесконечный предел при :

.

Величина называется -мерой Хаусдорфа множества .

Свойства α-меры Хаусдорфа

[править | править код]
  • -мера Хаусдорфа является борелевской мерой на .
  • с точностью до умножения на коэффициент: 1-мера Хаусдорфа для гладких кривых совпадает с их длиной; 2-мера Хаусдорфа для гладких поверхностей совпадает с их площадью; -мера Хаусдорфа множеств в совпадает с их -мерным объёмом.
  • убывает по . Более того, для любого множества существует[1][2][3] критическое значение , такое, что:
    • для всех
    • для всех

Значение может быть нулевым, конечным положительным или бесконечным.

Определение размерности Хаусдорфа

[править | править код]

Размерностью Хаусдорфа множества называется число из предыдущего пункта.

Для самоподобных множеств размерность Хаусдорфа может быть вычислена явно. Неформально говоря, если множество разбивается на частей, подобных исходному множеству с коэффициентами , то его размерность является решением уравнения . Например,

  • размерность множества Кантора равна (разбивается на две части, коэффициент подобия 1/3),
  • размерность треугольника Серпинского — (разбивается на 3 части, коэффициент подобия 1/2),
  • размерность кривой дракона — (разбивается на 2 части, коэффициент подобия ).
  • Размерность Хаусдорфа любого множества не превосходит нижней и верхней размерностей Минковского.
  • Размерность Хаусдорфа не более чем счётного объединения множеств равна максимуму из их размерностей.
  • Для произвольных метрических пространств и выполняется соотношение
    • Для некоторых пар и неравенство строгое, более того такую пару можно выбрать из компактных подмножеств вещественной прямой.[4]

Примечания

[править | править код]
  1. Доказательство в Pertti Mattila, «Geometry of sets and measures in Euclidian Spaces», 1995 — теорема 4.7
  2. (Springer) Encyclopedia of Mathematics — отсылка к Mattila. Дата обращения: 31 августа 2015. Архивировано 16 января 2020 года.
  3. Доказательство в Kenneth Falconer, «Fractal Geometry» (второе издание), 2003 — стр. 31
  4. Example 7.8 в Falconer, Kenneth J. Fractal geometry. Mathematical foundations and applications (англ.). — John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, New Jersey, 2003.

Литература

[править | править код]
  • Федер Е. Фракталы. — М.: МИР, 1991. — С. 254. — ISBN 5-03-001712-7.