Сглаживающий сплайн

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Сглаживающий сплайн (англ. smoothing spline) — оценка функции , полученная из набора зашумлённых наблюдений за исходными данными и используемая в дальнейших вычислениях для балансировки адекватности модели функции к с основанной на производной мере кривизной функции . Иными словами, сглаживающий сплайн является важным средством при работе с зашумленными данными типа , . Наиболее известным видом сглаживающего сплайна является кубический сплайн.

Определение кубического сплайна

[править | править код]

Пусть — последовательность наблюдений, порождённых выражением . Приближение сглаживающими сплайнами функции определяется как функция (в классе дважды дифференцируемых функций), минимизирующая[1]

Замечания:

  1. параметр сглаживания, контролирующий соотношение между точностью воспроизведения данных и «неровностью» аппроксимирующей функции.
  2. интеграл вычисляется по всему диапазону .
  3. при (нет сглаживания), сглаживающий сплайн превращается в интерполяционный сплайн.
  4. при (бесконечное сглаживание), штраф за неровность становится преобладающим и аппроксимация превращается в линейную МНК аппроксимацию.
  5. наиболее часто в современной статистической литературе используется штраф за неровность на основе второй производной, однако метод может быть легко адаптирован к использованию штрафов на основе других производных.
  6. в ранней литературе, с равноудалёнными , для вычисления штрафа вместо производной использовались конечные разности второго и третьего порядка.
  7. если сумму квадратов отклонений сплайна от исходных данных (первый член функционала) заменить на логарифм функции правдоподобия, получим оценку максимального правдоподобия со штрафной функцией. В такой постановке обычный сглаживающий сплайн представляет собой специальный случай, когда правдоподобие рассчитывается исходя из нормального распределения погрешности.

Вывод кубического сглаживающего сплайна

[править | править код]

Разделим нахождение выражений, описывающих сглаживающий сплайн, на два этапа:

  1. Сначала найдём значения .
  2. Из этих значений найдём для всех x.

Начнём со второго этапа:

Дан вектор «подогнанных» значений; сумма квадратов в критерии сплайна — константа. Требуется только минимизировать , и минимизация — натуральный кубический сплайн, интерполирующий точки . Данный интерполяционный сплайн — линейный оператор — может быть представлен в виде:

,

где — набор базисных сплайн-функций. В результате штраф за отсутствие у функции признака гладкости имеет форму

где элементы A — . Базисные функции и матрица A зависят от конфигурации независимых переменных , но не от или .

Возвращаясь к первому этапу, взвешенная сумма квадратов может быть записана так:

где . минимизация по даёт

Создание многомерных сплайнов

[править | править код]

Из приведённого ограничения на формулу из определения следует, что алгоритм не работает для произвольного набора данных. Если планируется использование алгоритма для произвольного набора точек в многомерном пространстве необходим алгоритм, в котором нет таких ограничений. Возможное решение заключается во введении параметра таким образом, что входные данные могут быть представлены как одномерные функции, зависящие от данного параметра; после можно применить сглаживание для каждой функции. В двумерном пространстве решение состоит в параметризации и как and где . Подходящее решение для это накопленное расстояние где .[2][3]

Более детальный анализ параметризации выполнен E.T.Y Lee.[4]

Связанные методы

[править | править код]

Сглаживающие сплайны имеют отношение, но отличаются от:

Исходный код

[править | править код]

Исходный код для сглаживающих сплайнов может быть взят из примеров к книге Carl de Boor’s A Practical Guide to Splines. Примеры написаны на Фортране. Обновлённые исходные коды также доступны на официальном сайте Carl de Boor’s [1].

Примечания

[править | править код]
  1. Hastie, T. J.; Tibshirani, R. J. Generalized Additive Models (неопр.). — Chapman and Hall, 1990. — ISBN 0-412-34390-8.
  2. Robert E. Smith Jr., Joseph M Price and Lona M. Howser. A Smoothing Algorithm Using Cubic Spline Functions. Дата обращения: 31 мая 2011. Архивировано из оригинала 14 сентября 2013 года.
  3. N. Y. Graham. Smoothing With Periodic Cubic Splines. Дата обращения: 31 мая 2011. Архивировано 14 сентября 2013 года.
  4. E.T.Y. Lee. Choosing nodes in parametric curve interpolation. Дата обращения: 28 июня 2011. Архивировано 14 сентября 2013 года.
  5. Ruppert, David; Wand, M. P. and Carroll, R. J. Semiparametric Regression (неопр.). — Cambridge University Press, 2003. — ISBN 0-521-78050-0.

Литература

[править | править код]